Задача №20093

Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 16 и 34, а основание $BC$ равно 2. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB\text{.}$ Найдите площадь трапеции.

Дано: трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD\text{;}$ боковые стороны $AB=16\text{,}$ $CD=34\text{;}$ $BC=2\text{.}$ Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину $M$ стороны $AB\text{.}$

Шаг 1. Вспомогательное построение. Продолжим биссектрису $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $K\text{.}$

Так как $AD\parallel BC\text{,}$ для секущей $DK$ накрест лежащие углы равны: $\angle ADK=\angle DKC\text{.}$ Но $DK$ — биссектриса угла $ADC\text{,}$ значит $\angle ADK=\angle KDC\text{.}$ Отсюда $\angle DKC=\angle KDC\text{,}$ то есть треугольник $DKC$ равнобедренный и $CK=CD=34\text{.}$

Шаг 2. Находим большее основание $AD\text{.}$ Рассмотрим треугольники $DAM$ и $KBM\text{:}$

• $AM=MB$ ($M$ — середина $AB$);
• $\angle AMD=\angle BMK$ (вертикальные, точки $D,M,K$ лежат на одной прямой);
• $\angle DAM=\angle KBM$ (накрест лежащие при $AD\parallel BK$ и секущей $AB$).

Значит $△DAM=△KBM$ по стороне и двум прилежащим углам, откуда $AD=BK\text{.}$

Точка $K$ лежит на прямой $BC$ по другую сторону от $B\text{,}$ чем $C\text{,}$ поэтому $CK=CB+BK\text{.}$ Тогда

Шаг 3. Высота трапеции. Опустим из вершин $B$ и $C$ перпендикуляры на основание $AD\text{;}$ пусть их горизонтальные проекции равны $x$ (для $AB$) и $y$ (для $CD$). Тогда

По теореме Пифагора для боковых сторон (высота $h$ общая):

Вычитая, получаем $y^2-x^2=900\text{,}$ то есть $(y-x)(y+x)=900\text{.}$ С учётом $y+x=30$ имеем $y-x=30\text{,}$ откуда $x=0\text{,}$ $y=30\text{.}$

Значит боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям и $h=AB=16$ (проверка: $30^2+16^2=900+256=1156=34^2$).

Шаг 4. Площадь.

Ответ: $272\text{.}$