Задача №20058

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K\text{.}$ Найдите площадь параллелограмма, если $BC=17\text{,}$ а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 10.

Дано: параллелограмм $ABCD\text{,}$ биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $K\text{;}$ $BC=17\text{;}$ расстояние от $K$ до стороны $AB$ равно $10\text{.}$

1. Биссектрисы перпендикулярны. Углы $A$ и $B$ параллелограмма — соседние, поэтому $\angle A+\angle B=180^{\circ }\text{.}$ В треугольнике $ABK\text{:}$

значит $\angle AKB=90^{\circ }\text{.}$

2. Отсекается равнобедренный треугольник. Пусть биссектриса угла $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $M\text{.}$ Так как $AD\parallel BC\text{,}$ то $\angle AMB=\angle MAD$ (накрест лежащие). Но $\angle MAD=\angle MAB$ (биссектриса), поэтому $\angle AMB=\angle MAB\text{,}$ и треугольник $ABM$ равнобедренный: $BM=AB\text{.}$

3. Точка $K$ — середина $AM\text{.}$ Луч $BK$ — биссектриса угла $ABM$ (это угол $B$ параллелограмма, ведь $M$ лежит на луче $BC$). В равнобедренном треугольнике $ABM$ с $BA=BM$ биссектриса из вершины $B$ является одновременно высотой и медианой к основанию $AM\text{.}$ Значит $BK\perp AM$ (что согласуется с п. 1) и $K$ — середина $AM\text{.}$

4. Высота из $K\text{.}$ Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ равно $BM\cdot \sin \angle ABM=AB\cdot \sin \angle B\text{.}$ Точка $A$ лежит на прямой $AB$ (её расстояние $0$), а $K$ — середина $AM\text{,}$ поэтому расстояние от $K$ до $AB$ равно среднему:

5. Площадь. Стороны $AB$ и $BC$ выходят из вершины $B$ под углом $\angle B\text{:}$

Ответ: $340\text{.}$