Задача №20582

Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 24 и 25,
а основание $BC$ равно 9. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB\text{.}$ Найдите площадь трапеции.

Пусть $AD\parallel BC$ — основания трапеции, $AB=24\text{,}$ $CD=25\text{,}$ $BC=9\text{.}$ Обозначим через $M$ середину боковой стороны $AB\text{;}$ по условию биссектриса угла $ADC$ проходит через $M\text{.}$

Шаг 1. Дополнительное построение. Продлим биссектрису $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $P\text{.}$

Рассмотрим треугольники $ADM$ и $BPM\text{:}$

• $AM=BM$ ($M$ — середина $AB$);
• $\angle AMD=\angle BMP$ (вертикальные углы);
• $\angle DAM=\angle PBM$ (накрест лежащие при $AD\parallel BP$ и секущей $AB$).

Значит, $△ADM=△BPM$ по стороне и двум прилежащим углам, откуда $BP=AD\text{.}$

Шаг 2. Равнобедренный треугольник. Так как $AD\parallel PC\text{,}$ накрест лежащие углы при секущей $DP$ дают $\angle ADP=\angle DPC\text{.}$ Но $\angle ADP=\angle CDP$ (так как $DP$ — биссектриса угла $ADC$). Следовательно, $\angle DPC=\angle CDP\text{,}$ то есть треугольник $CDP$ равнобедренный: $CP=CD=25\text{.}$

Шаг 3. Находим большее основание. Точка $B$ лежит на отрезке $PC\text{,}$ поэтому $CP=BC+BP\text{,}$ откуда $BP=25-9=16\text{.}$ Значит, $AD=BP=16\text{.}$

Шаг 4. Высота трапеции. Основания равны $BC=9$ и $AD=16\text{,}$ боковые стороны $24$ и $25\text{.}$ Отложим на большем основании отрезок, равный меньшему; разность оснований $16-9=7$ образует вместе с боковыми сторонами треугольник со сторонами $24\text{,}$ $25$ и $7\text{,}$ высота которого (опущенная на сторону $7$) равна высоте трапеции $h\text{.}$

Площадь этого треугольника по формуле Герона: $p=\frac{24+25+7}{2}=28\text{,}$

С другой стороны, $S_{△}=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot h\text{,}$ поэтому $h=\frac{2\cdot 84}{7}=24\text{.}$

Шаг 5. Площадь трапеции.

Проверка. Так как $x=0$ в системе перпендикуляров, сторона $AB=24$ оказывается перпендикулярной основаниям: $A{B}^2=h^2=576\text{,}$ а для второй боковой $7^2+24^2=49+576=625=25^2$ — согласуется с $CD=25\text{.}$

Ответ: $300\text{.}$