Задача №20668

Постройте график функции

$y=\frac{1}{2}(|\frac{x}{6}-\frac{6}{x}|+\frac{x}{6}+\frac{6}{x})\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Упрощаем формулу. Обозначим $a=\frac{x}{6}\text{,}$ $b=\frac{6}{x}$ (область определения $x\ne 0$). Тогда

$$y=\frac{1}{2}\left(|a-b|+a+b\right).$$

Воспользуемся тождеством $\frac{1}{2}\left(|a-b|+a+b\right)=\max (a,b)\text{:}$ если $a\ge b\text{,}$ то $|a-b|=a-b$ и выражение равно $a\text{;}$ если $a<b\text{,}$ то $|a-b|=b-a$ и выражение равно $b\text{.}$ Значит

$$y=\max \left(\frac{x}{6},\frac{6}{x}\right).$$

2. Сравниваем ветви. Знак разности: $\frac{x}{6}-\frac{6}{x}=\frac{x^2-36}{6x}\text{.}$

• При $x>0\text{:}$ $\frac{x}{6}\ge \frac{6}{x}⟺x\ge 6\text{.}$ Значит на $(0;6]$ график совпадает с гиперболой $y=\frac{6}{x}$ (убывает с $+\infty$ до $1$), а на $[6;+\infty )$ — с прямой $y=\frac{x}{6}$ (возрастает от $1$). В точке $x=6$ обе ветви дают $y=1$ — это низшая точка правой части, $(6;1)\text{.}$
• При $x<0\text{:}$ знаменатель $6x<0\text{,}$ поэтому $\frac{x}{6}\ge \frac{6}{x}⟺x^2\le 36⟺-6\le x<0\text{.}$ На $[-6;0)$ график совпадает с прямой $y=\frac{x}{6}$ (растёт от $-1$ к $0$), а на $(-\infty ;-6]$ — с гиперболой $y=\frac{6}{x}$ (растёт от $-1$ к $0$). В точке $x=-6$ обе ветви дают $y=-1$ — низшая точка левой части, $(-6;-1)\text{.}$

3. Что за график. Правая часть ($x>0$) — «долина» с вершиной $(6;1)\text{,}$ обе ветви уходят вверх в $+\infty \text{;}$ множество значений $[1;+\infty )\text{.}$ Левая часть ($x<0$) — «долина» с вершиной $(-6;-1)\text{,}$ обе ветви поднимаются к горизонтальной асимптоте $y=0$ (не достигая её); множество значений $[-1;0)\text{.}$

4. Пересечения с прямой $y=m\text{.}$

• $m<-1\text{:}$ пересечений нет.
• $m=-1\text{:}$ одна точка $(-6;-1)\text{.}$
• $-1<m<0\text{:}$ две точки (по одной на каждой ветви левой части).
• $0\le m<1\text{:}$ пересечений нет (эти значения график не принимает).
• $m=1\text{:}$ одна точка $(6;1)\text{.}$
• $m>1\text{:}$ две точки (по одной на каждой ветви правой части).

Ровно одна общая точка получается только в вершинах «долин».

Ответ: $m=-1$ или $m=1\text{.}$