Задача №20576

Постройте график функции

$y=\frac{(0,5x^2-2x)\cdot |x|}{x-4}\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

1. Упрощаем формулу. Разложим числитель на множители:

$$0,5x^2-2x=0,5x(x-4).$$

Тогда при $x\ne 4$

$$y=\frac{0,5x(x-4)\cdot |x|}{x-4}=0,5x|x|.$$

Область определения: $x\ne 4$ (в точке $x=4$ знаменатель обращается в ноль).

2. Раскрываем модуль. Получаем кусочную функцию:

• при $x\ge 0\text{:}$ $y=0,5x\cdot x=0,5x^2$ — правая ветвь параболы (вверх);
• при $x<0\text{:}$ $y=0,5x\cdot (-x)=-0,5x^2$ — левая ветвь параболы (вниз).

3. Выколотая точка. Точка $x=4$ исключена. Если бы она входила, то $y=0,5\cdot 4^2=8\text{.}$ Значит, на графике есть «дырка» с координатами $(4;8)\text{.}$

4. Множество значений функции.

• Ветвь $y=0,5x^2$ при $x\ge 0$ даёт все значения $y\ge 0\text{,}$ но значение $y=8$ достигалось бы только при $x=4$ (для $x\ge 0$ уравнение $0,5x^2=8$ имеет корень $x=4$), а эта точка выколота. Значит, $y=8$ этой ветвью не принимается.
• Ветвь $y=-0,5x^2$ при $x<0$ даёт все значения $y<0\text{.}$

Объединяя, функция принимает все действительные значения, кроме $y=8\text{.}$

5. Прямая $y=m\text{.}$ Горизонтальная прямая $y=m$ не пересекает график тогда и только тогда, когда значение $m$ не входит в множество значений функции, то есть при $m=8$ (прямая $y=8$ проходит ровно через выколотую точку).

Ответ: $m=8\text{.}$