Задача №19130

Постройте график функции

$y=x|x|-|x|-3x\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Раскроем модуль.

При $x\ge 0$ имеем $|x|=x\text{,}$ поэтому

$$y=x\cdot x-x-3x=x^2-4x.$$

Это часть параболы с ветвями вверх, вершиной в точке $(2;-4)$ и нулями $x=0\text{,}$ $x=4\text{.}$

При $x<0$ имеем $|x|=-x\text{,}$ поэтому

$$y=x\cdot (-x)-(-x)-3x=-x^2+x-3x=-x^2-2x.$$

Это часть параболы с ветвями вниз, вершиной в точке $(-1;1)$ и нулями $x=0\text{,}$ $x=-2\text{.}$

В точке $x=0$ обе формулы дают $y=0\text{,}$ значит график непрерывен.

2. Опишем график.

• Левая часть ($x<0$): поднимается из $-\infty$ до максимума $y=1$ при $x=-1\text{,}$ затем убывает до $y=0$ при $x\to 0\text{.}$
• Правая часть ($x\ge 0$): убывает от $y=0$ до минимума $y=-4$ при $x=2\text{,}$ затем возрастает до $+\infty \text{.}$

3. Считаем число общих точек с прямой $y=m\text{.}$

Число корней на левой части:

• $m>1$ — нет корней; $m=1$ — один; $0<m<1$ — два; $m\le 0$ — один.

Число корней на правой части:

• $m>0$ — один; $-4<m\le 0$ — два; $m=-4$ — один; $m<-4$ — нет корней.

Складываем:

Ровно две общие точки получаются только при $m=1$ (прямая проходит через вершину левой параболы) и при $m=-4$ (прямая проходит через вершину правой параболы).

Ответ: $m=-4\text{;}$ $m=1\text{.}$