Постройте график функции y=x|x|-|x|-3x. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Раскроем модуль. При x>= 0 имеем |x|=x, поэтому y=x* x-x-3x=x^2-4x. Это часть параболы с ветвями вверх, вершиной в точке (2;-4) и нулями x=0, x=4. При x<0 имеем |x|=-x, поэтому y=x*(-x)-(-x)-3x=-x^2+x-3x=-x^2-2x. Это часть параболы с ветвями вниз, вершиной в точке (-1;1) и нулями x=0, x=-2. В точке x=0 обе формулы дают y=0, значит график непрерывен. Опишем график. Левая часть (x<0): поднимается из -inf до максимума y=1 при x=-1, затем убывает до y=0 при x 0. Правая часть (x>= 0): убывает от y=0 до минимума y=-4 при x=2, затем возрастает до +inf. Считаем число общих точек с прямой y=m. Число корней на левой части: m>1 — нет корней; m=1 — один; 0<m<1 — два; m<= 0 — один. Число корней на правой части: m>0 — один; -4<m<= 0 — два; m=-4 — один; m<-4 — нет корней. Складываем: | m | левая | правая | всего | |---|---|---|---| | m>1 | 0 | 1 | 1 | | m=1 | 1 | 1 | 2 | | 0<m<1 | 2 | 1 | 3 | | -4<m<= 0 | 1 | 2 | 3 | | m=-4 | 1 | 1 | 2 | | m<-4 | 1 | 0 | 1 | Ровно две общие точки получаются только при m=1 (прямая проходит через вершину левой параболы) и при m=-4 (прямая проходит через вершину правой параболы). Ответ: m=-4; m=1.

m = -4; m = 1