Задача №20667

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC\text{.}$ Найдите $AB\text{,}$ если $AH=8\text{,}$ $AC=32\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle B=90^{\circ }$) проведена высота $BH$ к гипотенузе $AC\text{.}$ Высота, опущенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два треугольника, подобных исходному.

Рассмотрим треугольники $ABH$ и $ACB\text{:}$ у них общий угол $A\text{,}$ а углы $\angle AHB=\angle ABC=90^{\circ }\text{.}$ Значит, по двум углам $△ABH\sim △ACB\text{.}$

Из подобия следует пропорция для сходственных сторон:

откуда катет $AB$ есть среднее геометрическое гипотенузы и прилежащего к нему отрезка гипотенузы:

Подставляем данные $AH=8\text{,}$ $AC=32\text{:}$

Ответ: $AB=16\text{.}$