Задача №20613

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB=28\text{,}$ $AC=56\text{,}$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC\text{.}$ Прямая $BD\text{,}$ перпендикулярная прямой $AO\text{,}$ пересекает сторону $AC$ в точке $D\text{.}$
Найдите $CD\text{.}$

Ключевая идея — касательная к описанной окружности.

Пусть $\ell$ — касательная к описанной окружности в точке $A\text{.}$ Радиус $OA$ перпендикулярен касательной, то есть $OA\perp \ell \text{.}$ По условию $BD\perp AO\text{,}$ значит прямые $BD$ и $\ell$ перпендикулярны одной и той же прямой $AO\text{,}$ откуда

Угол между касательной и хордой. Угол между касательной $\ell$ и хордой $AB$ равен вписанному углу, опирающемуся на $AB$ из противоположной дуги, то есть $\angle ACB\text{.}$ Так как $BD\parallel \ell \text{,}$ а $AB$ — секущая, соответственный угол при вершине $B$ тот же:

Подобие. В треугольниках $ABD$ и $ACB\text{:}$

• угол $A$ — общий ($\angle DAB=\angle BAC$);
• $\angle ABD=\angle ACB\text{.}$

Значит, $△ABD\sim △ACB$ (по двум углам). Из соответствия сторон:

Точка $D$ лежит на стороне $AC$ (так как $AD=14<56=AC$), поэтому

Проверка. Ответ зависит только от $AB$ и $AC$ и не зависит от третьей стороны — прямая проверка на нескольких треугольниках с $AB=28\text{,}$ $AC=56$ (углы $A=45^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$) даёт $AD=14$ во всех случаях.

Ответ: $CD=42\text{.}$