Задача №20662

Решите уравнение $\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}-3=0\text{.}$

Область допустимых значений: $x\ne 0\text{.}$

Сделаем замену $t=\frac{1}{x}\text{.}$ Тогда $\frac{1}{x^2}=t^2\text{,}$ и уравнение принимает вид

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант $D=4+12=16$) получаем корни

Возвращаемся к переменной $x\text{:}$

• $\frac{1}{x}=1\Rightarrow x=1;$
• $\frac{1}{x}=-3\Rightarrow x=-\frac{1}{3}.$

Оба корня удовлетворяют условию $x\ne 0\text{.}$

Проверка. При $x=1\text{:}$ $1+2-3=0\text{.}$ При $x=-\frac{1}{3}\text{:}$ $\frac{1}{1/9}+\frac{2}{-1/3}-3=9-6-3=0\text{.}$ Верно.

Ответ: $x=1;x=-\frac{1}{3}\text{.}$