Задача №20547

Решите уравнение $x^2-2x+\sqrt{4-x}=\sqrt{4-x}+15\text{.}$

Область допустимых значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Преобразование. В уравнении $x^2-2x+\sqrt{4-x}=\sqrt{4-x}+15$ слагаемое $\sqrt{4-x}$ есть в обеих частях и на ОДЗ определено, поэтому его можно сократить:

Корни квадратного уравнения. По теореме Виета (или через дискриминант $D=4+60=64$):

Отбор корней по ОДЗ. Условие $x\le 4$ выполняется только для $x=-3\text{;}$ корень $x=5$ не входит в ОДЗ и отбрасывается.

Проверка $x=-3\text{:}$ $9+6+\sqrt{7}=\sqrt{7}+15\text{,}$ то есть $15+\sqrt{7}=15+\sqrt{7}$ — верно.

Ответ: $-3\text{.}$