Задача №20187

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC\text{.}$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{.}$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 13, 9 и 5. Найдите площадь параллелограмма $ABCD\text{.}$

Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{;}$ её радиус $r$ равен расстоянию от $O$ до любой стороны треугольника. Так как $AC$ — сторона треугольника $ABC\text{,}$ то

Касательная из вершины $A\text{.}$ Пусть окружность касается стороны $AB$ в точке $K\text{.}$ Тогда $OK\perp AB$ и $OK=r=5\text{,}$ а из прямоугольного треугольника $AKO$ по теореме Пифагора

Отрезок касательной из вершины $A$ равен $s-a\text{,}$ где $s$ — полупериметр треугольника $ABC\text{,}$ а $a=BC\text{.}$ Значит

Высота из вершины $A\text{.}$ В параллелограмме $AD\parallel BC\text{.}$ Прямая $AD$ проходит через вершину $A\text{,}$ а сторона $BC$ лежит на прямой, параллельной $AD\text{;}$ треугольник $ABC$ целиком заключён между этими параллельными прямыми, поэтому точка $O$ (внутри треугольника) лежит между ними. Расстояние от $O$ до $BC$ равно $r=5\text{,}$ расстояние от $O$ до $AD$ равно $9\text{,}$ поэтому расстояние между прямыми $AD$ и $BC$ равно

Так как $A\in AD\text{,}$ высота треугольника $ABC\text{,}$ опущенная из вершины $A$ на сторону $BC\text{,}$ равна $14\text{.}$

Нахождение стороны $BC\text{.}$ Площадь треугольника $ABC$ можно записать двумя способами:

Приравнивая и подставляя $s=BC+12\text{:}$

Тогда $s=42$ и

Площадь параллелограмма. Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равных треугольника $ABC$ и $ACD\text{,}$ поэтому

Проверка. Площадь параллелограмма как основание $BC$ на расстояние между $AD$ и $BC\text{:}$ $S_{ABCD}=BC\cdot 14=30\cdot 14=420$ — совпадает.

Ответ: $420\text{.}$