Задача №19794

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=43$ и $CD=4$ вписан
в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K\text{,}$
причём $\angle AKB=60^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Дано: вписанный в окружность четырёхугольник $ABCD\text{,}$ $AB=43\text{,}$ $CD=4\text{,}$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K\text{,}$ $\angle AKB=60^{\circ }\text{.}$ Найти радиус $R$ описанной окружности.

Шаг 1. Угол между диагоналями через дуги.
Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме заключённых между ними дуг. Диагонали $AC$ и $BD$ — это хорды, а $\angle AKB$ опирается на дуги $AB$ и $CD$ (вертикальный к нему угол $\angle CKD$ опирается на дугу $CD$). Значит

Шаг 2. Поворот хорды $CD\text{.}$
Повернём хорду $CD$ вокруг центра окружности так, чтобы точка $D$ перешла в точку $B\text{.}$ Тогда $C$ перейдёт в некоторую точку $C_1$ на окружности, причём при повороте длина сохраняется: $B{C}_1=CD=4\text{,}$ а дуга сохраняется: $⌣B{C}_1=⌣CD\text{.}$

Теперь дуга $A{C}_1$ складывается из дуг $AB$ и $B{C}_1\text{:}$

Шаг 3. Хорда $A{C}_1$ по теореме синусов.
Хорда стягивает дугу $120^{\circ }\text{,}$ поэтому вписанный угол, опирающийся на неё, равен $60^{\circ }\text{,}$ и по теореме синусов

Шаг 4. Треугольник $AB{C}_1$ по теореме косинусов.
В треугольнике $AB{C}_1$ известны $AB=43$ и $B{C}_1=4\text{.}$ Угол $\angle AB{C}_1$ — вписанный, опирающийся на дугу $A{C}_1=120^{\circ }$ со стороны, дополняющей её до полной окружности, поэтому $\angle AB{C}_1=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }\text{.}$ По теореме косинусов:

Подставляем $A{C}_1^2=(R\sqrt{3}{)}^2=3R^2$ и $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}\text{:}$

Шаг 5. Ответ.

Ответ: $R=\sqrt{679}\approx 26,06\text{.}$