Задача №20484

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC\text{.}$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{.}$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 25, 19 и 7. Найдите площадь параллелограмма $ABCD\text{.}$

Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{,}$ поэтому она равноудалена от всех сторон этого треугольника, а расстояние от неё до любой стороны равно радиусу $r\text{.}$

1. Радиус вписанной окружности. Прямая $AC$ — сторона треугольника $ABC\text{,}$ значит расстояние от $O$ до $AC$ равно радиусу:

2. Отрезок касательной из вершины $A\text{.}$ Пусть $K$ — точка касания окружности со стороной $AB$ (или $AC$). Тогда $OK\perp AK\text{,}$ $OK=r=7\text{,}$ а $OA=25\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $AKO$ по теореме Пифагора

Отрезок касательной из вершины $A$ равен полупериметру минус противолежащая сторона: $AK=p-a\text{,}$ где $p$ — полупериметр треугольника $ABC\text{,}$ а $a=BC\text{.}$ Значит

3. Высота параллелограмма. В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ противоположны, поэтому $AD\parallel BC\text{.}$ Прямая $BC$ — сторона треугольника $ABC\text{,}$ поэтому расстояние от $O$ до $BC$ тоже равно радиусу: $7\text{.}$ Центр $O$ лежит внутри треугольника, то есть между параллельными прямыми $AD$ и $BC\text{.}$ Следовательно, расстояние между этими прямыми равно сумме расстояний от $O$ до каждой из них:

Это и есть высота параллелограмма, опущенная на сторону $AD$ (и высота треугольника $ABC$ из вершины $A$ на сторону $BC\text{,}$ так как $A\in AD$).

4. Сторона $BC\text{.}$ Площадь треугольника $ABC$ выражается двумя способами. Через радиус вписанной окружности и полупериметр:

Через основание $BC=a$ и высоту $h=26$ на него:

Приравнивая, $7p=13a\text{,}$ откуда $p=\frac{13a}{7}\text{.}$ Подставляя в $p-a=24\text{:}$

Тогда $p=a+24=52\text{,}$ а $S_{ABC}=7\cdot 52=364\text{.}$

5. Площадь параллелограмма. Диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равных треугольника $ABC$ и $CDA\text{,}$ поэтому

(Проверка: $S_{ABCD}=AD\cdot h=BC\cdot h=28\cdot 26=728\text{.}$)

Ответ: $728\text{.}$