Задача №20652

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD\text{,}$ если $BC=9\text{,}$ а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $116^{\circ }$ и $94^{\circ }\text{.}$

Все вершины лежат на одной окружности. Точка $M$ равноудалена от всех вершин $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{,}$ $D\text{,}$ значит $MA=MB=MC=MD=R$ и все вершины лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $R\text{.}$

$AD$ — диаметр. Так как $M$ — середина $AD$ и $M$ — центр окружности, точки $A$ и $D$ диаметрально противоположны, то есть $AD=2R$ — диаметр.

Прямые углы, опирающиеся на диаметр. Вписанные углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ опираются на диаметр $AD\text{,}$ поэтому

Разбиваем углы четырёхугольника.

Находим дуги. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается:

• $\angle BCA=4^{\circ }$ опирается на дугу $AB\text{,}$ значит $⌣AB=8^{\circ }\text{;}$
• $\angle DBC=26^{\circ }$ опирается на дугу $DC\text{,}$ значит $⌣DC=52^{\circ }\text{.}$

Дуга полуокружности от $A$ до $D$ через $B$ и $C$ равна $180^{\circ }\text{:}$

Хорда $BC\text{.}$ Вписанный угол, опирающийся на $BC\text{,}$ равен $\frac{1}{2}⌣BC=60^{\circ }\text{,}$ поэтому

Из $BC=9$ получаем $R\sqrt{3}=9\text{,}$ откуда $R=\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\text{.}$

Ответ. $AD=2R=6\sqrt{3}\text{.}$

Проверка: $\angle A=\frac{1}{2}(⌣DC+⌣CB)=\frac{1}{2}(52^{\circ }+120^{\circ })=86^{\circ }\text{,}$ $\angle D=\frac{1}{2}(⌣AB+⌣BC)=\frac{1}{2}(8^{\circ }+120^{\circ })=64^{\circ }\text{;}$ сумма углов $86^{\circ }+116^{\circ }+94^{\circ }+64^{\circ }=360^{\circ }$ — верно.

Ответ: $AD=6\sqrt{3}\text{.}$