Задача №20649

Точка $H$ является основанием высоты $BH\text{,}$ проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC\text{.}$ Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $PK\text{,}$ если $BH=11\text{.}$

Рассмотрим окружность, построенную на отрезке $BH$ как на диаметре.

Шаг 1. Точки $P$ и $K$ дают прямые углы.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Точки $P$ и $K$ лежат на этой окружности, а $BH$ — её диаметр, поэтому

Значит, $HP\perp AB$ и $HK\perp CB\text{.}$

Шаг 2. Четырёхугольник $BPHK$ — прямоугольник.
В четырёхугольнике $BPHK\text{:}$

• $\angle PBK=\angle ABC=90^{\circ }$ (прямой угол треугольника $ABC$);
• $\angle BPH=90^{\circ }$ и $\angle BKH=90^{\circ }$ (доказано выше).

Три угла прямые, поэтому и четвёртый угол $\angle PHK=90^{\circ }\text{.}$ Четырёхугольник с четырьмя прямыми углами — прямоугольник.

Шаг 3. Находим $PK\text{.}$
В прямоугольнике диагонали равны. Диагонали прямоугольника $BPHK$ — это отрезки $BH$ и $PK\text{,}$ поэтому

Ответ: $11\text{.}$