Задача №20264

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC\text{.}$ Найдите $AB\text{,}$ если $AH=3\text{,}$ $AC=12\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle B=90^{\circ }$) проведена высота $BH$ к гипотенузе $AC\text{.}$ Точка $H$ делит гипотенузу на отрезки $AH$ и $HC\text{.}$

Свойство катета. Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Проекция катета $AB$ на гипотенузу $AC$ — это отрезок $AH\text{.}$ Поэтому

Подстановка. $AH=3\text{,}$ $AC=12\text{,}$ значит

Проверка. $HC=AC-AH=12-3=9\text{.}$ Высота: $B{H}^2=AH\cdot HC=3\cdot 9=27\text{.}$ Тогда в прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\angle H=90^{\circ }$): $A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2=9+27=36\text{,}$ то есть $AB=6$ — совпадает.

Ответ: $AB=6\text{.}$