Задача №20647

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 34 и 14, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD\text{,}$ если $AB=12\text{.}$

Шаг 1. Продлим боковые стороны до пересечения.

Продолжим боковые стороны $AB$ и $DC$ трапеции до пересечения в точке $P\text{.}$ Углы при основании $AD$ — это углы $A$ и $D$ треугольника $APD\text{,}$ а их сумма равна $90^{\circ }\text{.}$ Значит, угол при вершине $P$

то есть прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $P$ под прямым углом.

Шаг 2. Подобие.

Так как $BC\parallel AD\text{,}$ треугольники $PBC$ и $PAD$ подобны с коэффициентом

Поэтому $PB=\frac{7}{17}PA\text{,}$ и точка $B$ лежит между $P$ и $A\text{.}$ Тогда

откуда

Шаг 3. Радиус окружности.

Окружность проходит через точки $A$ и $B\text{,}$ лежащие на прямой $PA\text{,}$ и касается прямой $CD\text{;}$ пусть $T$ — точка касания, $O$ — центр, $R$ — радиус.

Перпендикуляр из центра $O$ на хорду $AB$ делит её пополам, поэтому проекция центра на прямую $AB$ — это середина $M$ хорды $AB\text{.}$ Так как $B$ лежит между $P$ и $A\text{,}$

Радиус в точку касания перпендикулярен касательной: $OT\perp CD\text{.}$ А поскольку $AB\perp CD\text{,}$ прямая $OT$ параллельна $AB\text{,}$ и расстояние от центра $O$ до прямой $CD$ равно расстоянию $PM$ вдоль прямой $AB$ (обе прямые пересекаются в $P$ под прямым углом). Но расстояние от центра до касательной равно радиусу, значит

(Проверка методом степени точки: касательная из $P$ удовлетворяет $P{T}^2=PA\cdot PB=20,4\cdot 8,4=171,36\text{,}$ что согласуется с $R=14,4$ и $PM=14,4\text{:}$ $R^2-P{M}^2$… — центр на расстоянии $14,4$ от $A\text{:}$ $\sqrt{(20,4-14,4{)}^2+171,36}=\sqrt{36+171,36}=\sqrt{207,36}=14,4\text{.}$)

Ответ: $14,4\text{.}$