В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=4, BC=2.
Так как AB⊥BC, а основания трапеции параллельны (BC∥AD), то AB перпендикулярна обоим основаниям.
Точка пересечения прямых CD и AB. Пусть прямые CD и AB пересекаются в точке P. Секущая CD пересекает параллельные прямые BC и AD, поэтому треугольники PBC и PAD подобны, и
PAPB=PDPC=ADBC=42=21.Значит PA=2PB, а так как B лежит между P и A, то PA=PB+BA, откуда PB=BA и PD=2PC.
Длины отрезков секущей. Треугольник PBC прямоугольный (∠B=90∘, ведь AB⊥BC). Обозначим AB=a; тогда PB=a и
PC=PB2+BC2=a2+4,PD=2PC=2a2+4.Степень точки P. Прямая AB касается окружности в точке E, а прямая PCD — секущая, поэтому
PE2=PC⋅PD=2(a2+4),PE=2(a2+4).Расстояние от E до CD. Опустим из E перпендикуляр EF на прямую CD. В прямоугольном треугольнике PEF
EF=PE⋅sin∠EPF,где ∠EPF — угол между прямыми AB и CD, то есть ∠BPC. Из прямоугольного треугольника PBC
sin∠BPC=PCBC=a2+42.Поэтому
EF=2(a2+4)⋅a2+42=22.Ответ не зависит от высоты трапеции a=AB.
Ответ: 22.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ