Задача №20047

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 32 и 4, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD\text{,}$ если $AB=14\text{.}$

Основания трапеции $AD\parallel BC\text{,}$ при этом $AD=32\text{,}$ $BC=4\text{,}$ а сумма углов при основании $AD$ равна $\angle A+\angle D=90^{\circ }\text{;}$ $AB=14\text{.}$

Шаг 1. Точка пересечения боковых сторон.
Продлим боковые стороны $BA$ и $CD$ до их пересечения в точке $P$ (так как $BC\parallel AD$ и $BC<AD\text{,}$ прямые сходятся со стороны меньшего основания). В треугольнике $PAD$ углы при вершинах $A$ и $D$ совпадают с углами трапеции при основании $AD\text{,}$ поэтому

Значит, прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны в точке $P\text{.}$

Шаг 2. Подобие и длины.
Из $BC\parallel AD$ следует подобие $△PBC\sim △PAD$ с коэффициентом

Тогда

Шаг 3. Степень точки $P\text{.}$
Точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $P$ лежат на одной прямой (боковая сторона $AB$), а прямая $CD$ также проходит через $P\text{.}$ Искомая окружность проходит через $A$ и $B$ и касается прямой $CD$ в некоторой точке $T\text{.}$ Прямая $PAB$ — секущая к окружности, а $PT$ — касательная, поэтому по свойству степени точки

Шаг 4. Радиус.
Пусть $O$ — центр, $r$ — радиус, $M$ — середина хорды $AB\text{;}$ тогда $OM\perp AB$ и

Окружность касается прямой $CD\text{,}$ значит расстояние от центра $O$ до прямой $CD$ равно $r\text{.}$ Но $CD\perp AB$ (шаг 1), поэтому это расстояние измеряется вдоль прямой $AB$ и равно расстоянию от $P$ до проекции $M$ центра на $AB\text{:}$

Проверка. Из $OA=r\text{:}$ $O{M}^2=r^2-M{A}^2=81-49=32\text{,}$ т. е. $OM=4\sqrt{2}\text{.}$ Тогда точка касания $T$ отстоит от $P$ на $PT=OM=4\sqrt{2}\text{,}$ и $P{T}^2=32=PA\cdot PB$ — согласуется со степенью точки.

Ответ: $9\text{.}$