Задача №20644

Точка $H$ является основанием высоты $BH\text{,}$ проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC\text{.}$ Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $PK\text{,}$ если $BH=15\text{.}$

Отрезок $BH$ — диаметр окружности. Точки $P$ и $K$ лежат на этой окружности, поэтому вписанные углы $BPH$ и $BKH$ опираются на диаметр и равны $90^{\circ }\text{.}$

Значит:

• $\angle BPH=90^{\circ }\text{,}$ то есть $HP\perp AB\text{;}$
• $\angle BKH=90^{\circ }\text{,}$ то есть $HK\perp CB\text{.}$

Рассмотрим четырёхугольник $BPHK\text{.}$ У него:

• $\angle PBK=90^{\circ }$ (это прямой угол $B$ треугольника $ABC$);
• $\angle BPH=90^{\circ }\text{;}$
• $\angle BKH=90^{\circ }\text{.}$

Три угла четырёхугольника прямые, поэтому и четвёртый угол $\angle PHK=90^{\circ }\text{.}$ Следовательно, $BPHK$ — прямоугольник.

В прямоугольнике диагонали равны. Диагоналями $BPHK$ являются $BH$ и $PK\text{,}$ значит

Ответ: $15\text{.}$