Задача №20641

Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 12 и 13,
а основание $BC$ равно 4. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB\text{.}$ Найдите площадь трапеции.

Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB\text{,}$ а $DM$ — биссектриса угла $ADC\text{.}$ Основания $BC\parallel AD\text{.}$

Дополнительное построение. Продлим биссектрису $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $K\text{.}$

Рассмотрим треугольники $AMD$ и $BMK\text{:}$

• $AM=BM$ (по условию $M$ — середина $AB$);
• $\angle AMD=\angle BMK$ (вертикальные);
• $\angle DAM=\angle KBM$ (накрест лежащие при $AD\parallel BK$ и секущей $AB$).

Значит, $△AMD=△BMK$ по стороне и двум прилежащим углам, откуда $BK=AD\text{.}$

Равнобедренный треугольник. Так как $DK$ — биссектриса, $\angle ADK=\angle KDC\text{.}$ При $AD\parallel BK$ накрест лежащие дают $\angle ADK=\angle DKB\text{.}$ Точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от $K$ на прямой $BC\text{,}$ поэтому $\angle DKB=\angle DKC\text{.}$ Следовательно,

и треугольник $DKC$ равнобедренный: $CK=CD=13\text{.}$

Находим основание. Точка $K$ лежит на прямой $BC$ так, что $CK=BK+BC$ (точка $B$ между $K$ и $C$), то есть

Высота трапеции. Основания $AD=9$ и $BC=4\text{,}$ боковые стороны $AB=12$ и $CD=13\text{.}$ Опустим из $B$ и $C$ высоты на $AD$ с основаниями $P$ и $Q\text{.}$ Тогда $PQ=BC=4\text{,}$ а $AP+QD=AD-BC=5\text{.}$ Обозначим $AP=x\text{,}$ $QD=5-x$ и высоту $h\text{:}$

Вычитая первое из второго: $(5-x{)}^2-x^2=25\text{,}$ то есть $25-10x=25\text{,}$ откуда $x=0\text{.}$ Значит, $AB\perp AD$ и

(Проверка: $QD=5\text{,}$ $5^2+12^2=169=13^2\text{.}$)

Площадь.

Ответ: $78\text{.}$