Задача №20176

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Дано: равнобедренная трапеция с периметром $P=220$ и площадью $S=2420\text{,}$ в которую можно вписать окружность. Обозначим основания $a$ (меньшее) и $b$ (большее), боковую сторону $c\text{,}$ высоту $h\text{.}$

Шаг 1. Свойство описанного четырёхугольника. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны: $a+b=c+d\text{.}$ Для равнобедренной трапеции $c=d\text{,}$ поэтому

Тогда периметр $P=(a+b)+2c=2(a+b)\text{,}$ откуда

Шаг 2. Высота. Площадь трапеции $S=\frac{a+b}{2}\cdot h\text{,}$ значит

Шаг 3. Основания по отдельности. Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее; получим прямоугольный треугольник с катетами $h$ и $\frac{b-a}{2}$ и гипотенузой $c\text{.}$ По теореме Пифагора

Вместе с $a+b=110$ получаем $b=88\text{,}$ $a=22\text{.}$

Шаг 4. Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания. Пусть диагонали пересекаются в точке $O\text{.}$ Треугольники, отсекаемые диагоналями у меньшего и у большего оснований, подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных основаниях), с коэффициентом подобия $\frac{a}{b}\text{.}$ Поэтому расстояния от $O$ до оснований относятся так же:

Отсюда

Проверка. $d_{\text{бол}}=44\cdot \frac{88}{110}=35,2\text{,}$ и $8,8+35,2=44=h\text{;}$ отношение $\frac{8,8}{35,2}=0,25=\frac{22}{88}=\frac{a}{b}$ — верно.

Ответ: $8,8\text{.}$