Задача №20638

Решите неравенство $\frac{x^2}{x-3}\le x\text{.}$

Область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю: $x-3\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne 3\text{.}$

Переносим всё в одну часть.

Приводим к общему знаменателю:

Множитель $3>0$ на знак не влияет, поэтому неравенство равносильно

Метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=0$ и $x=3\text{.}$ Отмечаем их на прямой ($x=0$ — закрашенная точка, так как неравенство нестрогое и числитель может обращаться в нуль; $x=3$ — выколотая, так как знаменатель не может быть нулём).

Определяем знак дроби $\frac{x}{x-3}$ на промежутках:

• при $x<0\text{:}$ числитель $<0\text{,}$ знаменатель $<0$ — дробь $>0\text{;}$
• при $0<x<3\text{:}$ числитель $>0\text{,}$ знаменатель $<0$ — дробь $<0\text{;}$
• при $x>3\text{:}$ оба множителя $>0$ — дробь $>0\text{.}$

Неравенство $\frac{x}{x-3}\le 0$ выполнено на среднем промежутке, включая $x=0$ (там дробь равна $0$).

Проверка. При $x=1\text{:}$ $\frac{1}{1-3}=-0,5\le 1$ — верно. При $x=-1\text{:}$ $\frac{1}{-4}=-0,25\le -1$ — неверно. При $x=4\text{:}$ $\frac{16}{1}=16\le 4$ — неверно.

Ответ: $[0;3)\text{.}$