Задача №20030

Решите неравенство $(x^2+3x-4)(x^2-6x+5)\ge 0.$

Разложим каждый множитель на множители.

Первый трёхчлен: $x^2+3x-4=(x-1)(x+4)$ (корни $x=1$ и $x=-4$).

Второй трёхчлен: $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$ (корни $x=1$ и $x=5$).

Тогда неравенство принимает вид:

Множитель $(x-1{)}^2\ge 0$ при всех $x\text{.}$ Поэтому:

• при $x=1$ левая часть равна $0$ — неравенство выполнено;
• при $x\ne 1$ имеем $(x-1{)}^2>0\text{,}$ и знак произведения совпадает со знаком $(x+4)(x-5)\text{.}$

Решим $(x+4)(x-5)\ge 0$ методом интервалов. Корни $-4$ и $5\text{;}$ парабола ветвями вверх, поэтому выражение неотрицательно при $x\le -4$ и $x\ge 5\text{.}$

Объединяя с изолированной точкой $x=1\text{,}$ получаем ответ.

Ответ: $x\in (-\infty ;-4]\cup \{1\}\cup [5;+\infty )\text{.}$