Задача №19045

Решите неравенство $\frac{x^2}{x-4}\le x\text{.}$

Область допустимых значений: знаменатель не равен нулю, поэтому $x\ne 4\text{.}$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

Множитель $4>0$ на знак не влияет, значит неравенство равносильно

Решаем методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=0$ (числитель) и $x=4$ (знаменатель, точка выколота). На числовой прямой три промежутка:

• $x<0\text{:}$ например $x=-1$ даёт $\frac{-1}{-5}=0,2>0$ — не подходит;
• $0<x<4\text{:}$ например $x=2$ даёт $\frac{2}{-2}=-1<0$ — подходит;
• $x>4\text{:}$ например $x=5$ даёт $\frac{5}{1}=5>0$ — не подходит.

В точке $x=0$ дробь равна $0\text{,}$ а неравенство нестрогое ($\le$), поэтому $x=0$ входит в ответ. Точка $x=4$ исключена (не входит в ОДЗ).

Получаем $0\le x<4\text{.}$

Ответ: $[0;4)\text{.}$