Задача №20053

Решите неравенство

$$x\le \frac{81}{x}.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю (переносить множитель $x$ нельзя — его знак неизвестен):

$$x-\frac{81}{x}\le 0⟺\frac{x^2-81}{x}\le 0⟺\frac{(x-9)(x+9)}{x}\le 0.$$

Нули числителя: $x=-9$ и $x=9\text{;}$ нуль знаменателя: $x=0$ (точка выколота). Отметим их на числовой прямой и расставим знаки выражения $\frac{(x-9)(x+9)}{x}$ методом интервалов:

• при $x<-9\text{:}$ знак $-\text{;}$
• при $-9<x<0\text{:}$ знак $+\text{;}$
• при $0<x<9\text{:}$ знак $-\text{;}$
• при $x>9\text{:}$ знак $+\text{.}$

Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому нули числителя $x=-9$ и $x=9$ включаем, а точку $x=0$ (знаменатель) — нет. Берём промежутки со знаком «$-$»:

$$x\le -9\text{или}0<x\le 9.$$

Проверка границ: при $x=-9\text{:}$ $-9\le \frac{81}{-9}=-9$ — верно; при $x=9\text{:}$ $9\le \frac{81}{9}=9$ — верно.

Ответ: $\left(-\infty ;-9\right]\cup \left(0;9\right]\text{.}$