Задача №20637

Решите уравнение $\frac{1}{(x-1{)}^2}+\frac{2}{x-1}-3=0\text{.}$

Область допустимых значений: $x-1\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne 1\text{.}$

Сделаем замену $t=\frac{1}{x-1}\text{.}$ Тогда $\frac{1}{(x-1{)}^2}=t^2\text{,}$ и уравнение принимает вид

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант $D=4+12=16$) получаем корни

Возвращаемся к переменной $x\text{.}$

1) $\frac{1}{x-1}=1\Rightarrow x-1=1\Rightarrow x=2.$

2) $\frac{1}{x-1}=-3\Rightarrow x-1=-\frac{1}{3}\Rightarrow x=\frac{2}{3}.$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($x\ne 1$).

Проверка для $x=2\text{:}$ $\frac{1}{1}+\frac{2}{1}-3=1+2-3=0\text{.}$ Для $x=\frac{2}{3}\text{:}$ $x-1=-\frac{1}{3}\text{,}$ тогда $\frac{1}{(1/9{)}^{}}\cdot \frac{1}{1}=9$ (так как $(x-1{)}^2=\frac{1}{9}$), и $9+\frac{2}{-1/3}-3=9-6-3=0\text{.}$ Оба корня верны.

Ответ: $x_1=\frac{2}{3};x_2=2\text{.}$