Решите уравнение x^(2)-2x+sqrt(6-x)=sqrt(6-x)+35.

Задача №20393: Уравнения, неравенства и их системы

Область определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

6 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 6.

Упрощение. В уравнении

x^{2} - 2 x + 6 - x = 6 - x + 35

слагаемое $6 - x$ есть в обеих частях. Вычтем его из обеих частей:

x^{2} - 2 x = 35,

x^{2} - 2 x - 35 = 0.

Решение квадратного уравнения. По теореме Виета (или через дискриминант $D = 4 + 140 = 144,$ $D = 12$ ):

x_{1} = \frac{2 + 12}{2} = 7, x_{2} = \frac{2 - 12}{2} = - 5.

Отбор корней. Условие $x \leq 6 :$ корень $x = 7$ не подходит (при нём $6 - x = - 1 < 0$ ), корень $x = - 5$ подходит ( $6 - (- 5) = 11 \geq 0$ ).

Проверка $x = - 5 :$ $(- 5)^{2} - 2 \cdot (- 5) + 11 = 25 + 10 + 11 = 35 + 11,$ правая часть $11 + 35$ — совпадает.

Ответ: $- 5 .$