Задача №20636

Постройте график функции

$y=\frac{7x-6}{7x^2-6x}\text{.}$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Упрощение функции. Разложим знаменатель на множители:

$$7x^2-6x=x(7x-6).$$

Тогда

$$y=\frac{7x-6}{x(7x-6)}=\frac{1}{x}.$$

Сокращение допустимо при условиях $x\ne 0$ и $7x-6\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne 0$ и $x\ne \frac{6}{7}\text{.}$

Значит, график функции — это гипербола $y=\frac{1}{x}\text{,}$ из которой выколота точка с абсциссой $x=\frac{6}{7}\text{.}$ Её ордината: $y=\frac{1}{6/7}=\frac{7}{6}\text{.}$ Выколота точка $\left(\frac{6}{7};\frac{7}{6}\right)\text{.}$

Пересечение с прямой $y=kx\text{.}$ Прямая проходит через начало координат. Приравняем:

$$kx=\frac{1}{x}\Rightarrow k{x}^2=1\Rightarrow x^2=\frac{1}{k}.$$

• При $k\le 0$ решений нет — общих точек нет.
• При $k>0$ получаем два различных корня $x=\pm \frac{1}{\sqrt{k}}\text{,}$ то есть две общие точки (по одной на каждой ветви гиперболы).

Когда общая точка ровно одна. Две точки пересечения гиперболы и прямой превращаются в одну только тогда, когда одна из них попадает в выколотую точку $\left(\frac{6}{7};\frac{7}{6}\right)\text{.}$ Прямая $y=kx$ проходит через эту точку при

$$k=\frac{7/6}{6/7}=\frac{7}{6}\cdot \frac{7}{6}=\frac{49}{36}.$$

Тогда вторая точка пересечения ($x=-\frac{6}{7}$) остаётся, а точка $x=\frac{6}{7}$ выколота — значит, общей точка ровно одна.

При других $k>0$ обе точки лежат на графике (две общие точки), при $k\le 0$ общих точек нет.

Ответ: $k=\frac{49}{36}\text{.}$