Задача №19180

Постройте график функции

$y=\frac{|x|-1}{|x|-x^2}\text{.}$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек.

Упрощение функции. Область определения: знаменатель не равен нулю. Так как $x^2=|x{|}^2\text{,}$ то

$$|x|-x^2=|x|-|x{|}^2=|x|(1-|x|).$$

Знаменатель обращается в нуль при $|x|=0$ и $|x|=1\text{,}$ то есть при $x=0$ и $x=\pm 1\text{.}$ Эти точки исключаем из области определения.

Преобразуем дробь (числитель $|x|-1=-(1-|x|)$):

$$y=\frac{|x|-1}{|x|-x^2}=\frac{-(1-|x|)}{|x|(1-|x|)}=-\frac{1}{|x|}.$$

Значит, график — это график функции $y=-\frac{1}{|x|}$ с тремя «выколотыми» точками. Функция чётная, её график симметричен относительно оси $Oy\text{,}$ целиком лежит ниже оси абсцисс, при $x\to 0$ уходит вниз, при $x\to \pm \infty$ приближается к оси $Ox$ снизу.

Выколотые точки: при $x=1$ и $x=-1$ значение $y=-\frac{1}{1}=-1\text{,}$ то есть точки $(1;-1)$ и $(-1;-1)\text{;}$ при $x=0$ функция не определена (вертикальная асимптота).

Пересечение с прямой $y=kx\text{.}$ Прямая проходит через начало координат. Ищем общие точки из уравнения

$$kx=-\frac{1}{|x|}⟺kx|x|=-1.$$

При $x>0\text{:}$ $k{x}^2=-1\Rightarrow x^2=-\frac{1}{k}$ — решение есть только при $k<0\text{,}$ тогда $x=\sqrt{-\frac{1}{k}}\text{.}$

При $x<0\text{:}$ $-k{x}^2=-1\Rightarrow x^2=\frac{1}{k}$ — решение есть только при $k>0\text{,}$ тогда $x=-\sqrt{\frac{1}{k}}\text{.}$

Разберём случаи.

• $k=0\text{:}$ прямая $y=0$ — ось $Ox\text{.}$ График всюду ниже оси ($y<0$) и лишь приближается к ней, но не касается, поэтому общих точек нет.
• $k<0\text{:}$ единственная точка пересечения находится в области $x>0\text{:}$ $x=\sqrt{-\frac{1}{k}}\text{.}$ Она попадает в выколотую точку $x=1$ лишь при $-\frac{1}{k}=1\text{,}$ то есть при $k=-1\text{.}$ Значит, при $k=-1$ найденная точка — это выколотая точка $(1;-1)\text{,}$ и других пересечений нет — общих точек с графиком нет. При остальных $k<0$ пересечение есть.
• $k>0\text{:}$ единственная точка пересечения находится в области $x<0\text{:}$ $x=-\sqrt{\frac{1}{k}}\text{.}$ Она совпадает с выколотой точкой $x=-1$ при $\frac{1}{k}=1\text{,}$ то есть при $k=1\text{.}$ Значит, при $k=1$ прямая проходит только через выколотую точку $(-1;-1)$ — общих точек с графиком нет. При остальных $k>0$ пересечение есть.

Итак, прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек при $k=-1\text{,}$ $k=0$ и $k=1\text{.}$

Ответ: $k=-1;0;1\text{.}$