Постройте график функции y=(|x|-1)/(|x|-x^(2)). Определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

Упрощение функции. Область определения: знаменатель не равен нулю. Так как x^2=|x|^2, то |x|-x^2=|x|-|x|^2=|x|(1-|x|). Знаменатель обращается в нуль при |x|=0 и |x|=1, то есть при x=0 и x=+-1. Эти точки исключаем из области определения. Преобразуем дробь (числитель |x|-1=-(1-|x|)): y=(|x|-1)/(|x|-x^2)=(-(1-|x|))/(|x|(1-|x|))=-(1)/(|x|). Значит, график — это график функции y=-(1)/(|x|) с тремя «выколотыми» точками. Функция чётная, её график симметричен относительно оси Oy, целиком лежит ниже оси абсцисс, при x0 уходит вниз, при x+-inf приближается к оси Ox снизу. Выколотые точки: при x=1 и x=-1 значение y=-(1)/(1)=-1, то есть точки (1;-1) и (-1;-1); при x=0 функция не определена (вертикальная асимптота). Пересечение с прямой y=kx. Прямая проходит через начало координат. Ищем общие точки из уравнения kx=-(1)/(|x|) kx|x|=-1. При x>0: kx^2=-1=> x^2=-(1)/(k) — решение есть только при k<0, тогда x=sqrt(-1k). При x<0: -kx^2=-1=> x^2=(1)/(k) — решение есть только при k>0, тогда x=-sqrt(1k). Разберём случаи. k=0: прямая y=0 — ось Ox. График всюду ниже оси (y<0) и лишь приближается к ней, но не касается, поэтому общих точек нет. k<0: единственная точка пересечения находится в области x>0: x=sqrt(-1k). Она попадает в выколотую точку x=1 лишь при -1k=1, то есть при k=-1. Значит, при k=-1 найденная точка — это выколотая точка (1;-1), и других пересечений нет — общих точек с графиком нет. При остальных k<0 пересечение есть. k>0: единственная точка пересечения находится в области x<0: x=-sqrt(1k). Она совпадает с выколотой точкой x=-1 при 1k=1, то есть при k=1. Значит, при k=1 прямая проходит только через выколотую точку (-1;-1) — общих точек с графиком нет. При остальных k>0 пересечение есть. Итак, прямая y=kx не имеет с графиком общих точек при k=-1, k=0 и k=1. Ответ: k=-1; 0; 1.

-1; 0; 1