Постройте график функции y=(2,5|x|-1)/(|x|-2,5x^(2)). Определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

Упрощаем формулу функции. В знаменателе x^(2)=|x|^(2), поэтому |x|-2,5x^(2)=|x|-2,5|x|^(2)=|x|(1-2,5|x|). Заметим, что 1-2,5|x|=-(2,5|x|-1). Тогда при 2,5|x|-1!= 0 дробь сокращается: y=(2,5|x|-1)/(|x|(-(2,5|x|-1)))=-(1)/(|x|). Область определения и выколотые точки. Знаменатель исходной дроби обращается в ноль при |x|=0 и при |x|=0,4, поэтому x!= 0 и x!=+- 0,4. Значит, график — это кривая y=-(1)/(|x|) с двумя выколотыми точками: при x=0,4 и x=-0,4 имеем y=-(1)/(0,4)=-2,5, то есть выколоты точки (0,4;-2,5) и (-0,4;-2,5). График симметричен относительно оси Oy, целиком лежит ниже оси абсцисс: при x 0 ветви уходят вниз, при |x| приближаются к оси Ox снизу (не касаясь её). Пересечение с прямой y=kx. Прямая y=kx проходит через начало координат. Правая ветвь (x>0): y=-(1)/(x). Из kx=-(1)/(x) получаем kx^(2)=-1, то есть x^(2)=-(1)/(k) — решение с x>0 есть только при k<0. Левая ветвь (x<0): |x|=-x, y=(1)/(x). Из kx=(1)/(x) получаем kx^(2)=1, x^(2)=(1)/(k) — решение с x<0 есть только при k>0. Когда общих точек нет. При k=0 прямая y=0 (ось Ox) — график её не достигает (ось абсцисс — асимптота). Общих точек нет. Найдём k, при которых единственное «пересечение» попадает в выколотую точку. Через (0,4;-2,5): -2,5=k* 0,4=> k=-6,25. При k=-6,25<0 прямая встречает лишь правую ветвь, и именно в выколотой точке (0,4;-2,5) — значит, реальных общих точек нет. Через (-0,4;-2,5): -2,5=k*(-0,4)=> k=6,25. При k=6,25>0 прямая встречает лишь левую ветвь в выколотой точке (-0,4;-2,5) — общих точек нет. При остальных k<0 точка пересечения на правой ветви имеет x^(2)=-(1)/(k)!= 0,16 и лежит на графике; при остальных k>0 аналогично есть точка на левой ветви. Значит, других значений k без общих точек нет. Ответ: k=-6,25; k=0; k=6,25.

k = -6,25; k = 0; k = 6,25