Постройте график функции
y=∣x∣−2,5x22,5∣x∣−1.
Определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.
1. Упрощаем формулу функции.
В знаменателе x2=∣x∣2, поэтому
∣x∣−2,5x2=∣x∣−2,5∣x∣2=∣x∣(1−2,5∣x∣).Заметим, что 1−2,5∣x∣=−(2,5∣x∣−1). Тогда при 2,5∣x∣−1=0 дробь сокращается:
y=∣x∣(−(2,5∣x∣−1))2,5∣x∣−1=−∣x∣1.2. Область определения и выколотые точки.
Знаменатель исходной дроби обращается в ноль при ∣x∣=0 и при ∣x∣=0,4, поэтому x=0 и x=±0,4.
Значит, график — это кривая y=−∣x∣1 с двумя выколотыми точками: при x=0,4 и x=−0,4 имеем y=−0,41=−2,5, то есть выколоты точки (0,4;−2,5) и (−0,4;−2,5).
График симметричен относительно оси Oy, целиком лежит ниже оси абсцисс: при x→0 ветви уходят вниз, при ∣x∣→∞ приближаются к оси Ox снизу (не касаясь её).
3. Пересечение с прямой y=kx.
Прямая y=kx проходит через начало координат.
Правая ветвь (x>0): y=−x1. Из kx=−x1 получаем kx2=−1, то есть x2=−k1 — решение с x>0 есть только при k<0.
Левая ветвь (x<0): ∣x∣=−x, y=x1. Из kx=x1 получаем kx2=1, x2=k1 — решение с x<0 есть только при k>0.
4. Когда общих точек нет.
При k=0 прямая y=0 (ось Ox) — график её не достигает (ось абсцисс — асимптота). Общих точек нет.
Найдём k, при которых единственное «пересечение» попадает в выколотую точку.
Через (0,4;−2,5): −2,5=k⋅0,4⇒k=−6,25. При k=−6,25<0 прямая встречает лишь правую ветвь, и именно в выколотой точке (0,4;−2,5) — значит, реальных общих точек нет.
Через (−0,4;−2,5): −2,5=k⋅(−0,4)⇒k=6,25. При k=6,25>0 прямая встречает лишь левую ветвь в выколотой точке (−0,4;−2,5) — общих точек нет.
При остальных k<0 точка пересечения на правой ветви имеет x2=−k1=0,16 и лежит на графике; при остальных k>0 аналогично есть точка на левой ветви. Значит, других значений k без общих точек нет.
Ответ: k=−6,25; k=0; k=6,25.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения