Задача №20259

Постройте график функции

$y=\frac{4x-5}{4x^2-5x}\text{.}$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Упрощаем функцию. Разложим знаменатель на множители:

$$4x^2-5x=x(4x-5).$$

Тогда при $4x-5\ne 0$ дробь сокращается:

$$y=\frac{4x-5}{x(4x-5)}=\frac{1}{x}.$$

2. Область определения. Знаменатель исходной дроби обращается в нуль при $x=0$ и при $4x-5=0\text{,}$ то есть $x=\frac{5}{4}\text{.}$ Значит $x\ne 0$ и $x\ne \frac{5}{4}\text{.}$

График функции — это гипербола $y=\frac{1}{x}\text{,}$ из которой выколота точка с абсциссой $x=\frac{5}{4}\text{.}$ Её ордината: $y=\frac{1}{5/4}=\frac{4}{5}\text{.}$ Итак, выколота точка $\left(\frac{5}{4};\frac{4}{5}\right)\text{.}$

3. Пересечение с прямой $y=kx\text{.}$ Прямая $y=kx$ проходит через начало координат. Приравняем:

$$kx=\frac{1}{x}\Rightarrow k{x}^2=1\Rightarrow x^2=\frac{1}{k}.$$

• При $k\le 0$ уравнение $x^2=\frac{1}{k}$ решений не имеет — общих точек нет.
• При $k>0$ получаем два корня $x=\pm \frac{1}{\sqrt{k}}\text{,}$ то есть прямая пересекает полную гиперболу в двух симметричных точках.

4. Условие ровно одной общей точки. Так как при $k>0$ точек пересечения ровно две, единственная общая точка с выколотым графиком получится тогда, когда одна из этих двух точек попадёт как раз в выколотую точку $\left(\frac{5}{4};\frac{4}{5}\right)$ и «исчезнет».

Прямая $y=kx$ проходит через эту точку при

$$k=\frac{y}{x}=\frac{4/5}{5/4}=\frac{4}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{16}{25}=0,64.$$

Проверим: при $k=\frac{16}{25}$ корни $x=\pm \frac{1}{\sqrt{16/25}}=\pm \frac{5}{4}\text{.}$ Корень $x=\frac{5}{4}$ соответствует выколотой точке (её на графике нет), остаётся единственная общая точка $x=-\frac{5}{4}\text{.}$

При любом другом $k>0$ обе точки пересечения принадлежат графику — их две; при $k\le 0$ общих точек нет.

Ответ: $k=0,64\text{.}$