Задача №20631

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB=12\text{,}$ $AC=72\text{,}$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC\text{.}$ Прямая $BD\text{,}$ перпендикулярная прямой $AO\text{,}$ пересекает сторону $AC$ в точке $D\text{.}$
Найдите $CD\text{.}$

Проведём в точке $A$ касательную $t$ к описанной окружности. Радиус $OA$ перпендикулярен касательной, значит $t\perp AO\text{.}$ По условию $BD\perp AO\text{,}$ поэтому прямая $BD$ параллельна касательной: $BD\parallel t\text{.}$

По теореме об угле между касательной и хордой угол между касательной $t$ и хордой $AC$ равен вписанному углу $\angle ABC\text{,}$ опирающемуся на дугу $AC\text{.}$ Так как $BD\parallel t\text{,}$ угол между прямой $AC$ и прямой $BD$ тоже равен $\angle ABC\text{,}$ то есть

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACB\text{:}$

• угол $A$ у них общий ($\angle DAB=\angle CAB$);
• $\angle ADB=\angle ABC\text{.}$

Значит, $△ABD\sim △ACB$ по двум углам (соответствие $A\to A\text{,}$ $D\to B\text{,}$ $B\to C$). Из подобия

Точка $D$ лежит на стороне $AC$ (так как $AD=2<72=AC$), поэтому

Ответ: $CD=70\text{.}$