Задача №20293

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C\text{.}$ Найдите длину отрезка $KP\text{,}$ если $AK=16\text{,}$ а сторона $AC$ в 1,6 раза больше стороны $BC\text{.}$

Точки $B\text{,}$ $K\text{,}$ $P\text{,}$ $C$ лежат на одной окружности, поэтому четырёхугольник $BKPC$ — вписанный. У вписанного четырёхугольника внешний угол равен внутреннему углу при противоположной вершине, значит

Рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB\text{:}$ угол $A$ у них общий, а $\angle AKP=\angle ACB\text{.}$ По двум углам

(соответствие вершин $A\leftrightarrow A\text{,}$ $K\leftrightarrow C\text{,}$ $P\leftrightarrow B$). Из подобия следует пропорция сходственных сторон:

По условию $AC=1,6\cdot BC\text{,}$ поэтому

Ответ: $10\text{.}$