Задача №20625

Постройте график функции

$y=|x^2+4x-5|\text{.}$

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

1. Разбираем подмодульное выражение. Рассмотрим $g(x)=x^2+4x-5\text{.}$ Найдём нули: $x^2+4x-5=0\text{,}$ по теореме Виета корни $x_1=-5\text{,}$ $x_2=1\text{.}$ Значит $g(x)=(x+5)(x-1)$ — парабола ветвями вверх. Вершина: $x_0=-\frac{4}{2}=-2\text{,}$ $g(-2)=4-8-5=-9\text{,}$ то есть вершина $(-2;-9)\text{.}$

2. Строим график $y=|x^2+4x-5|\text{.}$ Модуль отражает вверх ту часть параболы, что лежит ниже оси абсцисс:

• при $x\le -5$ и $x\ge 1$ выражение $g(x)\ge 0\text{,}$ поэтому $y=x^2+4x-5$ (исходные ветви параболы);
• при $-5<x<1$ выражение $g(x)<0\text{,}$ поэтому $y=-(x^2+4x-5)$ — отражённая «горбом» дуга. Её наивысшая точка получается из вершины $(-2;-9)$ и равна $(-2;9)\text{.}$

График касается оси $Ox$ в точках $(-5;0)$ и $(1;0)\text{,}$ между ними поднимается «горбом» до $y=9\text{,}$ а по краям уходит вверх по ветвям параболы.

3. Пересечение с прямой $y=c$ (прямая, параллельная оси абсцисс):

• $c<0$ — точек нет;
• $c=0$ — 2 точки ($x=-5$ и $x=1$);
• $0<c<9$ — прямая пересекает и «горб» (2 точки), и обе внешние ветви (2 точки), итого 4 точки;
• $c=9$ — вершина горба даёт 1 точку плюс 2 точки на ветвях, итого 3 точки;
• $c>9$ — только 2 точки на внешних ветвях.

Проверка при $c=5\text{:}$ внешние ветви $x^2+4x-5=5\Rightarrow x^2+4x-10=0\Rightarrow x=-2\pm \sqrt{14}$ (обе точки вне отрезка $[-5;1]$); горб $-(x^2+4x-5)=5\Rightarrow x^2+4x=0\Rightarrow x=0$ или $x=-4$ (обе в отрезке $[-5;1]$). Всего 4 точки — подтверждает вывод.

Наибольшее число общих точек достигается при $0<c<9$ и равно $4\text{.}$

Ответ: $4\text{.}$