Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
Постройте график функции
y=1−x(x2+6,25)(x−1).
Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
1. Упрощаем функцию. При x=1 имеем 1−xx−1=−1, поэтому
y=1−x(x2+6,25)(x−1)=−(x2+6,25)=−x2−6,25.Это парабола ветвями вниз с вершиной (0;−6,25), но точка x=1 из области определения исключена (знаменатель 1−x=0). При x=1 было бы y=−(1+6,25)=−7,25, значит на графике выколота точка (1;−7,25).
2. Пересечение с прямой y=kx. Приравниваем:
kx=−x2−6,25 ⟺ x2+kx+6,25=0.Дискриминант D=k2−25.
3. Разбираем случаи ровно одной общей точки.
Касание (D=0): k2=25, то есть k=5 или k=−5. Тогда одна точка пересечения при x=−2k=∓2,5=1 — точка на графике, годится. Даёт ровно одну общую точку.
Прямая проходит через выколотую точку: при D>0 парабола и прямая имеют две точки, но если одна из них — выколотая (1;−7,25), то остаётся ровно одна. Подставим x=1 в уравнение: 1+k+6,25=0⇒k=−7,25. По теореме Виета второй корень x2=16,25=6,25=1 — реальная точка. Значит при k=−7,25 ровно одна общая точка.
При остальных k либо две общие точки (D>0, обе не выколоты), либо ни одной (D<0).
Ответ: k=−7,25; k=−5; k=5.