Постройте график функции y=((x^(2)+6,25)(x-1))/(1-x). Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Упрощаем функцию. При x1 имеем (x-1)/(1-x)=-1, поэтому y=((x^(2)+6,25)(x-1))/(1-x)=-(x^(2)+6,25)=-x^(2)-6,25. Это парабола ветвями вниз с вершиной (0;-6,25), но точка x=1 из области определения исключена (знаменатель 1-x=0). При x=1 было бы y=-(1+6,25)=-7,25, значит на графике выколота точка (1;-7,25). Пересечение с прямой y=kx. Приравниваем: kx=-x^(2)-6,25 x^(2)+kx+6,25=0. Дискриминант D=k^(2)-25. Разбираем случаи ровно одной общей точки. Касание (D=0): k^(2)=25, то есть k=5 или k=-5. Тогда одна точка пересечения при x=-(k)/(2)=-+2,51 — точка на графике, годится. Даёт ровно одну общую точку. Прямая проходит через выколотую точку: при D>0 парабола и прямая имеют две точки, но если одна из них — выколотая (1;-7,25), то остаётся ровно одна. Подставим x=1 в уравнение: 1+k+6,25=0=> k=-7,25. По теореме Виета второй корень x_2=(6,25)/(1)=6,251 — реальная точка. Значит при k=-7,25 ровно одна общая точка. При остальных k либо две общие точки (D>0, обе не выколоты), либо ни одной (D<0). Ответ: k=-7,25; k=-5; k=5.

-7,25; -5; 5