Задача №18856

Постройте график функции

$y=|x^2+5x+6|\text{.}$

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Шаг 1. Строим параболу $y=x^2+5x+6\text{.}$

Нули: $x^2+5x+6=0\Rightarrow (x+2)(x+3)=0\text{,}$ то есть $x_1=-3\text{,}$ $x_2=-2\text{.}$

Вершина: $x_0=-\frac{5}{2}=-2,5\text{,}$ $y_0=(-2,5{)}^2+5\cdot (-2,5)+6=6,25-12,5+6=-0,25\text{.}$

Ветви направлены вверх, значит на промежутке $(-3;-2)$ парабола лежит ниже оси $Ox\text{,}$ а вне отрезка $[-3;-2]$ — выше (или на оси в точках $-3$ и $-2$).

Шаг 2. Переходим к модулю.

$$y=|x^2+5x+6|=\{\begin{array}{ll}{x}^2+5x+6,& x\le -3\text{ или }x\ge -2,\\ -(x^2+5x+6),& -3<x<-2.\end{array}$$

График получается из параболы отражением её части, лежащей ниже оси $Ox\text{,}$ симметрично относительно оси $Ox\text{.}$ Возникает «горб» на отрезке $[-3;-2]$ с вершиной в точке $(-2,5;0,25)$ (так как $|-0,25|=0,25$) и «нулями» в точках $x=-3$ и $x=-2\text{.}$

Шаг 3. Пересечение с прямой $y=c$ (прямая, параллельная оси абсцисс).

Число общих точек — число корней уравнения $|x^2+5x+6|=c\text{:}$

• $c<0$ — общих точек нет;
• $c=0$ — 2 точки ($x=-3$ и $x=-2$);
• $0<c<0,25$ — 2 точки на внешних ветвях (уравнение $x^2+5x+6=c$ имеет 2 корня, так как $c>-0,25$) и ещё 2 точки на «горбе» (уравнение $x^2+5x+6=-c$ имеет 2 корня, так как $-c>-0,25$) — итого 4 точки;
• $c=0,25$ — 2 точки на ветвях и 1 точка-вершина горба $(-2,5;0,25)$ — 3 точки;
• $c>0,25$ — 2 точки.

Больше четырёх точек быть не может: каждое из уравнений $x^2+5x+6=\pm c$ квадратное и даёт не более двух корней.

Наибольшее число достигается, например, при $c=0,1\text{.}$

Ответ: $4\text{.}$