Постройте график функции y=|x^(2)+5x+6|. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Шаг 1. Строим параболу y=x^2+5x+6. Нули: x^2+5x+6=0 => (x+2)(x+3)=0, то есть x_1=-3, x_2=-2. Вершина: x_0=-(5)/(2)=-2,5, y_0=(-2,5)^2+5*(-2,5)+6=6,25-12,5+6=-0,25. Ветви направлены вверх, значит на промежутке (-3;-2) парабола лежит ниже оси Ox, а вне отрезка [-3;-2] — выше (или на оси в точках -3 и -2). Шаг 2. Переходим к модулю. y=|x^2+5x+6|=cases x^2+5x+6, & x<= -3 или x>= -2, -(x^2+5x+6), & -3<x<-2.cases График получается из параболы отражением её части, лежащей ниже оси Ox, симметрично относительно оси Ox. Возникает «горб» на отрезке [-3;-2] с вершиной в точке (-2,5;0,25) (так как |-0,25|=0,25) и «нулями» в точках x=-3 и x=-2. Шаг 3. Пересечение с прямой y=c (прямая, параллельная оси абсцисс). Число общих точек — число корней уравнения |x^2+5x+6|=c: c<0 — общих точек нет; c=0 — 2 точки (x=-3 и x=-2); 0<c<0,25 — 2 точки на внешних ветвях (уравнение x^2+5x+6=c имеет 2 корня, так как c>-0,25) и ещё 2 точки на «горбе» (уравнение x^2+5x+6=-c имеет 2 корня, так как -c>-0,25) — итого 4 точки; c=0,25 — 2 точки на ветвях и 1 точка-вершина горба (-2,5;0,25) — 3 точки; c>0,25 — 2 точки. Больше четырёх точек быть не может: каждое из уравнений x^2+5x+6=+- c квадратное и даёт не более двух корней. Наибольшее число достигается, например, при c=0,1. Ответ: 4.

4