Задача №19954

Постройте график функции

$y=\frac{(x^2+0,25)(x-1)}{1-x}\text{.}$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Упрощаем функцию. При $x\ne 1$ имеем $1-x=-(x-1)\text{,}$ поэтому

$$y=\frac{(x^2+0,25)(x-1)}{1-x}=\frac{(x^2+0,25)(x-1)}{-(x-1)}=-(x^2+0,25)=-x^2-0,25.$$

Значит график — парабола $y=-x^2-0,25$ (ветви вниз, вершина $(0;-0,25)$) с выколотой точкой при $x=1\text{:}$ $y(1)=-1-0,25=-1,25\text{,}$ то есть точка $(1;-1,25)$ графику не принадлежит.

2. Пересечение с прямой $y=kx\text{.}$ Прямая проходит через начало координат. Приравниваем:

$$kx=-x^2-0,25⟺x^2+kx+0,25=0,x\ne 1.$$

Число общих точек — это число корней $x\ne 1$ этого квадратного уравнения. Дискриминант $D=k^2-1\text{.}$

3. Случай касания ($D=0$). $k^2-1=0\Rightarrow k=\pm 1\text{;}$ корень $x=-\frac{k}{2}\text{.}$

• $k=1\text{:}$ $x=-0,5\ne 1$ — ровно одна общая точка.
• $k=-1\text{:}$ $x=0,5\ne 1$ — ровно одна общая точка.

4. Случай, когда один из двух корней попадает в выколотую точку $x=1\text{.}$ Подставим $x=1\text{:}$ $1+k+0,25=0\Rightarrow k=-1,25\text{.}$ Тогда по теореме Виета произведение корней равно $0,25\text{,}$ второй корень $x=\frac{0,25}{1}=0,25\ne 1\text{.}$ Корень $x=1$ выколот, остаётся ровно одна общая точка $x=0,25\text{.}$

5. Остальные $k\text{.}$ Если $D>0$ и ни один корень не равен $1$ — две общие точки (не подходит); если $D<0$ — общих точек нет.

Ответ: $k=-1,25;k=-1;k=1\text{.}$