Задача №20622

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD\text{,}$ если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $16^{\circ }\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $E\text{.}$ Обозначим острый угол параллелограмма $\angle BAD=\alpha \text{.}$

Биссектриса делит угол $A$ пополам, поэтому $\angle BAE=\frac{\alpha }{2}\text{.}$

В параллелограмме $BC\parallel AD\text{,}$ а $AE$ — секущая. Углы $\angle DAE$ и $\angle AEB$ — накрест лежащие, значит $\angle AEB=\angle DAE=\frac{\alpha }{2}\text{.}$

По условию угол между биссектрисой и стороной $BC$ равен $16^{\circ }\text{,}$ то есть $\angle AEB=16^{\circ }\text{.}$

Тогда $\frac{\alpha }{2}=16^{\circ }\text{,}$ откуда $\alpha =32^{\circ }\text{.}$

(Заодно видно, что треугольник $ABE$ равнобедренный: $\angle BAE=\angle AEB=16^{\circ }\text{,}$ поэтому $AB=BE\text{.}$)

Ответ: $32\text{.}$