Задача №20621

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD\text{,}$ если $BC=14\text{,}$ а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $110^{\circ }$ и $100^{\circ }\text{.}$

Все вершины лежат на одной окружности. Точка $M$ — середина $AD\text{,}$ поэтому $MA=MD=\frac{AD}{2}\text{.}$ По условию $M$ равноудалена от всех вершин, значит

Следовательно, вершины $A,B,C,D$ лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $R\text{,}$ причём отрезок $AD$ проходит через центр $M\text{,}$ то есть $AD$ — диаметр этой окружности.

Прямые углы на диаметр. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому

Разбиваем данные углы диагоналями. В выпуклом четырёхугольнике диагональ $BD$ лежит внутри угла $B\text{,}$ а диагональ $AC$ — внутри угла $C\text{:}$

Дуги. Вписанные углы $\angle DBC$ и $\angle ACB$ опираются на дуги $DC$ и $AB\text{,}$ поэтому дуги вдвое больше:

Вершины $B$ и $C$ лежат на полуокружности от $A$ до $D\text{,}$ значит

Хорда $BC\text{.}$ Центральный угол $\angle BMC=⌣BC=120^{\circ }\text{.}$ В равнобедренном треугольнике $BMC$ с $MB=MC=R$ по теореме косинусов:

откуда $BC=R\sqrt{3}\text{.}$ Тогда

Проверка. При таких дугах ($AB=20^{\circ }\text{,}$ $BC=120^{\circ }\text{,}$ $CD=40^{\circ }$) вписанный угол $B$ опирается на дугу $ADC=360^{\circ }-140^{\circ }=220^{\circ }\text{,}$ то есть $\angle B=110^{\circ }\text{;}$ угол $C$ опирается на дугу $BAD=200^{\circ }\text{,}$ то есть $\angle C=100^{\circ }$ — совпадает с условием.

Ответ: $AD=\frac{28\sqrt{3}}{3}\text{.}$