Задача №19777

Точка $H$ является основанием высоты $BH\text{,}$ проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC\text{.}$ Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $BH\text{,}$ если $PK=13\text{.}$

Ключевая идея. Отрезок $BH$ — диаметр окружности, а точки $P$ и $K$ лежат на этой окружности.

Шаг 1. Прямые углы при $P$ и $K\text{.}$ Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Угол $BPH$ опирается на диаметр $BH\text{,}$ значит $\angle BPH=90^{\circ }\text{.}$ Аналогично $\angle BKH=90^{\circ }\text{.}$ Итак, $HP\perp AB$ и $HK\perp CB\text{.}$

Шаг 2. Четырёхугольник $BPHK$ — прямоугольник. Рассмотрим четырёхугольник $BPHK$ (вершины $B\text{,}$ $P\text{,}$ $H\text{,}$ $K$). Его углы:

• $\angle PBK=\angle ABC=90^{\circ }$ (это прямой угол исходного треугольника);
• $\angle BPH=90^{\circ }$ и $\angle BKH=90^{\circ }$ (доказано выше).

Сумма углов четырёхугольника равна $360^{\circ }\text{,}$ поэтому четвёртый угол $\angle PHK=360^{\circ }-3\cdot 90^{\circ }=90^{\circ }\text{.}$ Все четыре угла прямые — значит, $BPHK$ является прямоугольником.

Шаг 3. Диагонали. В прямоугольнике диагонали равны. Диагонали прямоугольника $BPHK$ — это отрезки $BH$ и $PK\text{.}$ Следовательно,

Ответ: $BH=13\text{.}$