Задача №20619

Диагональ прямоугольника образует угол $86^{\circ }$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O\text{.}$ Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $\angle CAB=86^{\circ }\text{.}$

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $OA=OB\text{,}$ и треугольник $AOB$ — равнобедренный. Значит, углы при основании равны:

$$\angle OBA=\angle OAB=86^{\circ }.$$

Тогда угол при вершине $O\text{:}$

$$\angle AOB=180^{\circ }-86^{\circ }-86^{\circ }=8^{\circ }.$$

Это и есть острый угол между диагоналями (смежный с ним угол равен $172^{\circ }$ — тупой).

Ответ: $8\text{.}$