Задача №19089

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD\text{.}$ Радиус окружности с центром в точке $O\text{,}$ проходящей через вершину $A\text{,}$ равен 3. Найдите площадь квадрата $ABCD\text{.}$

Пусть сторона квадрата равна $a\text{.}$ Тогда его площадь $S=a^2\text{.}$

Точка $O$ — середина стороны $CD\text{,}$ поэтому $OD=\frac{a}{2}\text{.}$

Треугольник $AOD$ прямоугольный: угол $D$ — угол квадрата, то есть $AD\perp DC\text{.}$ По теореме Пифагора

$$O{A}^2=A{D}^2+O{D}^2=a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{5a^2}{4}.$$

Отрезок $OA$ — радиус окружности с центром $O\text{,}$ проходящей через вершину $A\text{,}$ значит $OA=3\text{:}$

$$\frac{5a^2}{4}=9⟹a^2=\frac{4\cdot 9}{5}=7,2.$$

Площадь квадрата равна $a^2=7,2\text{.}$

Ответ: $7,2\text{.}$