Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=42, BC=14, CF:DF=4:3.

Пусть диагональ BD трапеции пересекает отрезок EF в точке K. Найдём FK. Рассмотрим треугольник DBC. Точка F лежит на стороне DC, точка K — на стороне DB, причём FK BC (так как EF параллельна основаниям). По теореме о пропорциональных отрезках (из подобия треугольников DFK и DCB): (DF)/(DC)=(DK)/(DB)=(FK)/(BC). Так как CF:DF=4:3, то (DF)/(DC)=(3)/(7), откуда FK = BC*(DF)/(DC) = 14*(3)/(7)=6, (DK)/(DB)=(3)/(7). Найдём EK. Рассмотрим треугольник BAD. Точка E лежит на стороне BA, точка K — на стороне BD, причём EK AD. Из пункта 1: (BK)/(BD)=1-(DK)/(DB)=1-(3)/(7)=(4)/(7). Из подобия треугольников BEK и BAD: (EK)/(AD)=(BK)/(BD)=(4)/(7), EK = 42*(4)/(7)=24. Складываем. Точка K лежит на отрезке EF, поэтому EF = EK + KF = 24 + 6 = 30. Проверка по формуле отрезка, параллельного основаниям и делящего боковую сторону в отношении CF:FD=4:3 (считая от меньшего основания): EF=(DF* BC + CF* AD)/(CF+DF)=(3* 14+4* 42)/(7)=(210)/(7)=30. Ответ: 30.

30