Задача №18826

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD\text{,}$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF\text{,}$ если $AD=42\text{,}$ $BC=14\text{,}$ $CF:DF=4:3\text{.}$

Пусть диагональ $BD$ трапеции пересекает отрезок $EF$ в точке $K\text{.}$

1. Найдём $FK\text{.}$ Рассмотрим треугольник $DBC\text{.}$ Точка $F$ лежит на стороне $DC\text{,}$ точка $K$ — на стороне $DB\text{,}$ причём $FK\parallel BC$ (так как $EF$ параллельна основаниям). По теореме о пропорциональных отрезках (из подобия треугольников $DFK$ и $DCB$):

Так как $CF:DF=4:3\text{,}$ то $\frac{DF}{DC}=\frac{3}{7}\text{,}$ откуда

2. Найдём $EK\text{.}$ Рассмотрим треугольник $BAD\text{.}$ Точка $E$ лежит на стороне $BA\text{,}$ точка $K$ — на стороне $BD\text{,}$ причём $EK\parallel AD\text{.}$ Из пункта 1: $\frac{BK}{BD}=1-\frac{DK}{DB}=1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}\text{.}$ Из подобия треугольников $BEK$ и $BAD\text{:}$

3. Складываем. Точка $K$ лежит на отрезке $EF\text{,}$ поэтому

Проверка по формуле отрезка, параллельного основаниям и делящего боковую сторону в отношении $CF:FD=4:3$ (считая от меньшего основания):

Ответ: $30\text{.}$