Задача №18870

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F\text{.}$ Найдите $AB\text{,}$ если $AF=12\text{,}$ $BF=5\text{.}$

В трапеции $ABCD$ сторона $AB$ — боковая, значит основания $BC$ и $AD$ параллельны, а $AB$ — секущая. Углы $A$ и $B$ при боковой стороне — односторонние, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{:}$

Лучи $AF$ и $BF$ — биссектрисы этих углов, поэтому

В треугольнике $ABF$ сумма двух углов при основании $AB$ равна $90^{\circ }\text{,}$ значит

то есть треугольник $ABF$ прямоугольный с прямым углом при вершине $F\text{,}$ а $AB$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:

Ответ: $13\text{.}$