Задача №18891

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K\text{.}$ Найдите периметр параллелограмма, если $BK=9\text{,}$ $CK=15\text{.}$

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны: $AD\parallel BC\text{.}$

Шаг 1. Равные углы. Биссектриса угла $A$ делит его пополам, поэтому $\angle BAK=\angle KAD\text{.}$ Так как $AD\parallel BC\text{,}$ а $AK$ — секущая, то $\angle KAD=\angle AKB$ как накрест лежащие углы. Следовательно,

Шаг 2. Равнобедренный треугольник. В треугольнике $ABK$ два угла при основании $AK$ равны, значит, треугольник равнобедренный и

Шаг 3. Стороны параллелограмма. Сторона $BC=BK+CK=9+15=24\text{.}$ В параллелограмме $CD=AB=9$ и $AD=BC=24\text{.}$

Шаг 4. Периметр.

Ответ: $66\text{.}$