Задача №20615

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $82^{\circ }\text{,}$ угол $CAD$ равен $28^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $ABC\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Угол $ABC$ разбивается диагональю $BD$ на два угла: $\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC\text{.}$

Вписанные углы $\angle DBC$ и $\angle CAD$ опираются на одну и ту же дугу $CD$ (вершины $B$ и $A$ лежат по одну сторону от хорды $CD$), поэтому они равны:

$$\angle DBC=\angle CAD=28^{\circ }.$$

Следовательно,

$$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=82^{\circ }+28^{\circ }=110^{\circ }.$$

Ответ: $110\text{.}$