Задача №20345

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F\text{.}$ Найдите $AB\text{,}$ если $AF=24\text{,}$ $BF=18\text{.}$

В трапеции $ABCD$ сторона $AB$ — боковая, значит основания $AD$ и $BC$ параллельны. Углы $A$ и $B$ — односторонние при секущей $AB$ и параллельных прямых $AD$ и $BC\text{,}$ поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{:}$

Лучи $AF$ и $BF$ — биссектрисы этих углов, поэтому

В треугольнике $ABF$ сумма двух углов при стороне $AB$ равна

Тогда третий угол треугольника

то есть треугольник $ABF$ прямоугольный с прямым углом при вершине $F\text{.}$ По теореме Пифагора

Ответ: $30\text{.}$