Задача №20604

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD\text{,}$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину
отрезка $EF\text{,}$ если $AD=44\text{,}$ $BC=24\text{,}$ $CF:DF=3:1\text{.}$

В трапеции $ABCD$ основания — $AD=44$ и $BC=24\text{;}$ прямая $EF$ параллельна основаниям, $E\in AB\text{,}$ $F\in CD\text{.}$

Шаг 1. Проведём диагональ $BD\text{.}$ Пусть она пересекает отрезок $EF$ в точке $G\text{.}$ Тогда $EF=EG+GF\text{.}$

Шаг 2. Отношение на боковой стороне. По условию $CF:DF=3:1\text{,}$ значит $DF:DC=1:4\text{.}$

Шаг 3. Отрезок $GF$ (треугольник $DBC$). В треугольнике $DBC$ точка $F$ лежит на $DC\text{,}$ точка $G$ — на $DB\text{,}$ а $GF\parallel BC\text{.}$ По теореме о пропорциональных отрезках (подобие $△DGF\sim △DBC$):

Шаг 4. Отрезок $EG$ (треугольник $ABD$). Прямая $EF\parallel AD$ пересекает боковые стороны трапеции, поэтому $AE:EB=DF:FC=1:3\text{,}$ откуда $BE:BA=3:4\text{.}$ В треугольнике $ABD$ точка $E$ лежит на $BA\text{,}$ точка $G$ — на $BD\text{,}$ $EG\parallel AD\text{,}$ значит $△BEG\sim △BAD\text{:}$

Шаг 5. Итог.

Ответ: $39\text{.}$