Задача №18866

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD\text{,}$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $30^{\circ }$ и $120^{\circ }\text{,}$ а $CD=25\text{.}$

Углы $\angle ABC=30^{\circ }$ и $\angle BCD=120^{\circ }$ прилежат к стороне $BC\text{.}$ Так как $AB$ — боковая сторона трапеции, параллельными сторонами (основаниями) являются $BC$ и $AD\text{,}$ а $AB$ и $CD$ — боковые стороны.

Проведём высоты трапеции из вершин $B$ и $C$ на основание $AD\text{;}$ их длина одинакова и равна высоте трапеции $h$ (расстоянию между параллельными основаниями $BC$ и $AD$).

Высота через боковую сторону $AB\text{.}$ В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной $AB$ и высотой, угол при вершине $B$ (угол между $AB$ и основанием) равен $\angle ABC=30^{\circ }\text{,}$ поэтому

Высота через боковую сторону $CD\text{.}$ Угол $\angle BCD=120^{\circ }$ — тупой, острый угол между $CD$ и основанием равен $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }\text{,}$ поэтому

Приравниваем высоты.

Ответ: $AB=25\sqrt{3}\text{.}$